Lo scopo di questa pagine è quello di relazionare un segnale periodico ad onda quadra con il suo spettro. Si vuole dimostrare che la prima componente della trasformata di fourier ha una frequenza pari a quella del segnale di partenza.

Si consideri un segnale:

 

segnale onda quadra
segnale onda quadra

 

la sua trasformata di Fourier è:

funzione sinc

 

funzione sinc
funzione sinc
 

 

Nel grafico sopra, la curva rossa individua un y=sinc(x), mentre la curva blu è un y=sinc(2x). Quest'ultima curva infatti ha il primo zero in 1/a.

Costruiamo ora il segnale periodico y(t) a partire da x(t) (imponiamo per semplicità t0=0 e b=1):

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L'ultima equazione deve essere interpretata come il campionamento del sinc(f) a intervalli f=k/T. Il termine che moltiplica la delta sono proprio i coefficienti della serie di Fourier.

Proviamo ad applicare questi risultati ad un'onda quadra di frequenza 80 Hz e di ampiezza 1 con un duty cicle del 50%:

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Il passaggio dalla seconda equazione alla terza può essere spiegato osservando che è stata effettuata l'antitrasformata, estratta la componente continua e dato che la funzione sinc(f) è pari, è possibile fare partire k da 1 effettuando il raccoglimento dei coefficienti della serie in modulo uguali, infatti:

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Componenti della trasformata di Fourier di un'onda quadra
Componenti della trasformata di Fourier di un'onda quadra

 

La figura mostra la somma di diverse componenti:

  • La curva rossa identifica la prima componente (alla frequenza di 80 Hz) sommata alla componente continua;
  • la curva nera è la somma delle prime 10 armoniche (multipli di 80 Hz) e la componente continua;
  • la curva blu è la somma delle prima 50 armoniche e la componete continua.

Nell'esempio seguente invece consideriamo un'onda quadra alla frequenza di 80 Hz, ampiezza 1, ma duty cicle del 75%.

 

Componenti della trasformata di Fourier di un'onda quadra e duty cycle > 50%
Componenti della trasformata di Fourier di un'onda quadra e duty cycle > 50%

 

I colori hanno lo stesso significato del grafico precedente.

Con lo stesso procedimento evidenziato prima, è possibile esprimere la serie di Fourier come:

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Bibliografia

  1. J. G. Proakis; D. G. Manolakis, "Digital Signal Processing", Prentice-Hall, pag. 232-235.