Risoluzione di un circuito elettrico con mathcad

L'articolo mostra come è possibile risolvere un circuito elettrico tramite la teoria dei grafi e Mathcad.

La figura seguente riporta il circuito elettrico da risolvere: le incognite sono tutte le correnti evidenziate e la tensione \(Vo\), l'uscita dell'amplificatore operazionale.

Per risolvere il circuito sono necessarie 5 equazioni; quest'ultime sono mostrare di seguito:

\begin{equation} \begin{cases} -I_1-I_2+I_3=0 \\ -I_0+I_2+I_3=0 \\ RI_2+(Req_1+Req_2)I_3=V_1 \\ -(2R_2+R_1)I_0-R_1I_1-RI_2-\frac{1}{G}Vo=0 \\ (R_2+R_1)I_0-(R_1+R_2)I_1+RI_2-Vo=-V_{off} \end{cases} \notag \end{equation}

dove \(G\) è il guadagno in anello aperto dell'amplificatore operazionale.

L'equazione \((4)\) è derivata impostando:

\begin{equation} (Vp-Vn)G=Vo \notag \end{equation}

In forma matriciale le 5 equazioni sono rappresentate di seguito:

\begin{equation} M=\begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & R & Req_1+Req_2 & 0 \\ -(2R_2+R_1) & -R_1 & -R & 0 & -\frac{1}{G} \\ (R_2+R_1) & -(R_1+R_2) & R & 0 & -1 \end{bmatrix} \notag \end{equation}

ed il termone noto:

\begin{equation} C=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ V_1 \\ 0 \\ -V_{off} \end{bmatrix} \notag \end{equation}

La soluzione del sistema si trova impostando:

\begin{equation} S=M^{-1}\cdot C \notag \end{equation}

\(S\) è il vettore che contiene il valore delle 5 incognite: \(S_5\) è \(Vo\).

Da questo link è possibile scaricare il file mathcad:

Ad esempio, impostando:

\begin{equation} \begin{aligned} R_1 &= 10 \, k \Omega, & R_2 &=R_1, & R &= 1 \, k \Omega, \\ Req_1 &= 500 \, k \Omega, & Req_2 &= Req_1, \\ G &= 1000, & V_1 &= -1000 \, V, & V_{off} &= 1 \, V. \end{aligned} \notag \end{equation}

il vettore S ha soluzioni:

\begin{equation} S=\begin{bmatrix} 47.481 \, \mu A \\ -47.481 \, \mu A \\ -951.567 \, \mu A \\ -999.048 \, \mu A \\ 1.948 \, V \end{bmatrix} \notag \end{equation}

Per verifica possono essere calcolati i valori di \(V_p\) e \(V_n\):

\begin{equation} \begin{aligned}  V_p & =V_{off}+R_2 S_0 = 1.475 \, V \\ V_n &= V_p + R_1 S_0 + R S_2 - R_1 S_1 = 1.473 \, V \notag \end{aligned} \end{equation}