partitore capacitivo
partitore capacitivo
Per iniziare consideriamo il generatore di tensione spento, quindi troviamo i due condensatori in parallelo e con il verso delle tensioni indicati in figura. Consideriamo anche i due condensatori scarichi, quindi Vc2=0 all'inizio e la carica immagazzinata nei due condensatori è nulla (Q-=0).

Idealmente accendiamo V1 con la polarità indicata in figura e proviamo a calcolare la nuova tensione ai capi di C2. Per fare questo sfruttiamo il principio della conservazione della carica applicato al nodo A cioè la carica Q- immagazzinata nel nodo all'istante precedente dell'accensione di V1 deve essere uguale alla carica Q+, la carica immagazzinata in A all'istante successivo. Con la convenzione dei versi di tensioni e correnti possiamo affermare che la carica accumulata sull'armatura di C1 collegata ad A vale in modulo C1*Vc1, ma ha polarità negativa; mentre la carica accumulata in C2 sempre sull'armatura collegata ad A vale C2*Vc2 con polarità positiva. La somma deve essere effettuata rispettando i segni sottolineati prima:

  1. Q-=0
  2. Q+=-C1*Vc1+C2*Vc2=C1*(Vc2-V1)+C2*Vc2

Uguagliando le due espressioni otteniamo:

  1. C1*(Vc2-V1)+C2*Vc2=0
  2. V1*C1=Vc2(C1+C2)
  3. Vc2=C1/(C1+C2)*V1

Questa ultima espressione è il partitore capacito e la somiglianza con quello resistivo è evidente. Per essere più precisi, la vera similitudine è con un partitore resistivo di corrente.

Ci poniamo ora il problema di calcolare il valore di Vc2 nel caso però che siano presenti contemporaneamente sia V1 e che le condizioni iniziali dei due condensatori non siano nulle (indicate con Vc1i e Vc2i).

Data la linearità del sistema possiamo pensare di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e considerare tre diversi effetti: il generatore di tensione indipendente e le due condizioni iniziali. Ricalcando la trattazione svolta prima per il generatore V1, possiamo affermare che:

  1. Vc2f=C1/(C1+C2)*(V1+Vc1i)+C2/(C1+C2)*Vc2i

dove Vc2f indica la tensione del nodo A, ai capi di C2, all'istante successivo l'accensione del generatore. La dipendenza di Vc2f da Vc1i suggerisce che Vc1i può essere pensata come un generatore di tensione da aggiungere a V1. Per quanto riguarda invece l'altro termine, eseguiamo passo per il principio di sovrapposizione degli effetti: per prima cosa spegniamo V1 e consideriamo C1 scarico; quindi immaginiamo di posizionare un generatore di tensione V2 di valore Vc2i tra GND e l'armatura inferiore di C2. Eseguendo lo stesso ragionamento di prima, cioè la conservazione della carica al nodo A, otteniamo il risultato espresso.